Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1）（a＞1），若函數(shù)y=g（x）的圖象上任意一點P關(guān)于原點的對稱點Q的軌跡恰好是函數(shù)f（x）的圖象．
（1）寫出函數(shù)g（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[0，1）時，總有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)點P（x，y）是g（x）的圖象上的任意一點，則Q（-x，-y）在函數(shù)f（x）的圖象上，
即-y=log_a（-x+1），則
∴
（2）f（x）+g（x）≥m 即，
也就是在[0，1）上恒成立．
設(shè)，
則
由函數(shù)的單調(diào)性易知，h（x）在[0，1）上遞增，若使f（x）+g（x）≥m在[0，1）上恒成立，
只需h（x）_min≥m在[0，1）上成立，即m≤0．
m的取值范圍是（-∞，0]
分析：（1）由已知條件可知函數(shù)g（x）的圖象上的任意一點P（x，y）關(guān)于原點對稱的點Q（-x，-y）在函數(shù)f（x）圖象上，把Q（-x，-y）代入f（x），整理可得g（x）
（2）由（1）可令h（x）=f（x）+g（x），先判斷函數(shù)h（x）在[0，1）的單調(diào)性，
進(jìn)而求得函數(shù)的最小值h（x）_min，使得m≤h（x）_min
點評：本題（1）主要考查了函數(shù)的中心對稱問題：若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）關(guān)于點M（a，b）對稱，則y=f（x）上的任意一點（x，y）關(guān)于M（a，b）對稱的點（2a-x，2b-y）在函數(shù)y=g（x）的圖象上．
（2）主要考查了函數(shù)的恒成立問題，往往轉(zhuǎn)化為求最值問題：m≥h（x）恒成立，則m≥h（x）_maxm≤h（x）恒成立，
則m≤h（x）_min