Question

【題目】設數列的前項和為，對任意，點都在函數的圖象上.

(1)求，歸納數列的通項公式(不必證明).

(2)將數列依次按項、項、項、項、項循環(huán)地分為，，，，各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為，求的值.

(3)設為數列的前項積，若不等式對一切都成立，其中，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），，， （2）3012 （3）

【解析】

（1）求得，分別令，2，3，進而歸納出數列的通項公式；

（2）寫出幾個循環(huán)數，可得每一次循環(huán)記為一組，由每一個循環(huán)含有5個括號，故是第20組中第5個括號內的數之和，每一個循環(huán)中含有15個數，20個循環(huán)具有300個數，計算可得所求和；

（3）由題意可得原不等式即為對一切都成立，

設，則只需，判斷數列的單調性，可得最大值，解不等式即可得到所求的范圍．

因為點在函數的圖象上，故

所以

令，得，所以；

令，得，所以；

令，得，所以；

由此猜想:.

因為，所以數列依次按項、項、項、項、項循環(huán)地分為，，，

每一次循環(huán)記為一組.由于每一個循環(huán)含有個括號，故是第組中第個括號內各數之和，每個循環(huán)中有個數，個循環(huán)共有個數.

又，所以.

（3）因為故，

所以

又

故對一切都成立，

就是，則只需即可

由于，所以

故是單調遞減，

于是，解得.