Question

【題目】已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)，分別從集合和中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)和得到數(shù)對(duì)．

（1）若， ，求函數(shù)在內(nèi)是偶函數(shù)的概率；

（2）若， ，求函數(shù)有零點(diǎn)的概率；

（3）若， ，求函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的概率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】試題分析：

（1）列出數(shù)對(duì)數(shù)對(duì)的所有情況，根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)得，然后由古典概型概率公式求解即可．（2）列出數(shù)對(duì)數(shù)對(duì)的所有情況，由條件得要使有零點(diǎn)，則滿足，然后由古典概型概率公式求解即可．（3）要使單調(diào)遞增，則需滿足，即，然后根據(jù)幾何概型概率公式求解．

試題解析：

（1）由已知得， ，

則分別從集合和中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)和得到數(shù)對(duì)的所有可能的情況有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共有18對(duì)．

要使是偶函數(shù)，則須有，故滿足條件的有序數(shù)對(duì)有， ， ，共有3對(duì)．

由古典概型概率公式可得所求概率為．

故函數(shù)在內(nèi)是偶函數(shù)的概率為．

（2）由已知得， ， ，所有的有序數(shù)列有， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共有18對(duì)．

要使有零點(diǎn)，則需滿足，可得滿足條件的有序數(shù)對(duì)有， ，

， ， ， ，共有6對(duì)．

由古典概型概率公式可得所求概率為．

故函數(shù)有零點(diǎn)的概率為．

（3）要使單調(diào)遞增，則需滿足，即，

由題意得所有的基本事件構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)?/span>．

要使單調(diào)遞增，則需滿足，即．

設(shè)“函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)”為事件A，

則事件A包含的基本事件構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)?/span>．

由幾何概型概率公式可得．

故函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的概率為．