Question

已知復(fù)數(shù)z滿足|z-2|=1，復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是C，若虛數(shù)滿足u+

1

u

∈R，求|u|的值，并判斷虛數(shù)u所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與C的位置關(guān)系．

Answer 1

分析：據(jù)得數(shù)的幾何意義可直接得出|z-2|=1中復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是圓．設(shè)出復(fù)數(shù)u，寫出u+

1

u

的表示式，進(jìn)行復(fù)數(shù)的運(yùn)算，把它整理成最簡形式，根據(jù)它是實(shí)數(shù)得到其的虛部為0，得到其是表示圓心為（0，0），半徑為1的圓，最后結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可．

解答：解：滿足條件|z-2|=1的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是
圓心為（2，0），半徑為1的圓．
再設(shè)虛數(shù)u所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)U（a，b），
由u是虛數(shù)，設(shè)u=a+bi（a，b∈R，b≠0）則
 z+

1

z

=a+bi+

1

a+bi

=a+bi+

a-bi

a2+b2

=a+

a

a2+b2

+(b-

b

a2+b2

)i
∵u∈R∴b-

b

a2+b2

=0且b≠0得a²+b²=1即|u|=1，
它表示圓心為（0，0），半徑為1的圓，與圓心為（2，0），半徑為1的圓相外切，
即虛數(shù)u所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與C的位置關(guān)系是外切．

點(diǎn)評(píng)：考查圓錐曲線的軌跡問題、復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)求模的公式． 題型很基本．較全面考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算與幾何意義，本題是一個(gè)運(yùn)算量比較大的問題，題目的運(yùn)算比較麻煩，解題時(shí)注意數(shù)字不要出錯(cuò)．