Question

已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f（x）=x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0．設(shè)兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線相同．
（1）若a=1，求b的值；
（2）用a表示b，并求b的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點(diǎn)（x，y）處的切線相同，先利用導(dǎo)數(shù)求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．最后利用兩直線重合列出等式即可求得b值；
（2）利用（1）類似的方法，利用a的表達(dá)式來表示b，然后利用導(dǎo)數(shù)來研究b的最大值，研究此函數(shù)的最值問題，先求出函數(shù)的極值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，最后確定出最大值與最小值即得．
解答：解：（1）設(shè)y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點(diǎn)（x，y）處的切線相同．
f′（x）=x+2，g′（x）=，
由題意知f（x）=g（x），f′（x）=g′（x），
∴，
由x+2=得x=1或x=-3（舍去），即有b=．
（2）設(shè)y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點(diǎn)（x，y）處的切線相同、
f′（x）=x+2a，g′（x）=，
由題意f（x）=g（x），f′（x）=g′（x），
即由x+2a=得x=a或x=-3a（舍去），
即有b=a²+2a²-3a²lna=a²-3a²lna．
令h（t）=t²-3t²lnt（t＞0），則h′（t）=2t（1-3lnt）、
于是當(dāng)t（1-3lnt）＞0，即0＜t＜時(shí)，h′（t）＞0；
當(dāng)t（1-3lnt）＜0，即t＞時(shí)，h′（t）＜0．
故h（t）在（0，）為增函數(shù)，在（，+∞）為減函數(shù)，于是h（t）在（0，+∞）的最大值為h（）=，
故b的最大值為．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．