Question

（2013•南通一模）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，tanC=

sinA+sinB

cosA+cosB

．
（1）求角C的大�。�
（2）若△ABC的外接圓直徑為1，求a²+b²的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）在△ABC中，由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)可得sin（C-A）=sin（B-C）．
故有 C-A=B-C，或者C-A=π-（B-C） （不成立，舍去），即 2C=A+B，由此求得C的值．
（2）由于C=

π

3

，設(shè)A=

π

3

+α，B=

π

3

-α，-

π

3

＜α＜

π

3

，由正弦定理可得 a²+b²=sin²A+sin²B=
1+

1

2

cos2α．由-

2π

3

＜2α＜

2π

3

，根據(jù)余弦函數(shù)的定義域和值域求得 a²+b²的取值范圍．

解答：解：（1）在△ABC中，∵tanC=

sinA+sinB

cosA+cosB

，∴

sinC

cosC

=

sinA+sinB

cosA+cosB

，
化簡(jiǎn)可得 sinCcosA-cosCsinA=sinBcosC-cosBsinC，即 sin（C-A）=sin（B-C）．
∴C-A=B-C，或者C-A=π-（B-C） （不成立，舍去），即 2C=A+B，∴C=

π

3

．
（2）由于C=

π

3

，設(shè)A=

π

3

+α，B=

π

3

-α，-

π

3

＜α＜

π

3

，
由正弦定理可得 a=2rsinA=sinA，b=2rsinB=sinB，
∴a²+b²=sin²A+sin²B=

1-cos2A

2

+

1-cos2B

2

=1-

1

2

[cos（

2π

3

+2α）+cos（

2π

3

-2α）]
=1+

1

2

cos2α．
由-

2π

3

＜2α＜

2π

3

，可得-

1

2

＜cos2α≤1，∴

3

4

＜1+

1

2

cos2α≤

3

2

，即a²+b²的取值范圍為 （

3

4

，

3

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、余弦定理、余弦函數(shù)的定義域和值域、
兩角和差的正弦公式，屬于中檔題．