已知f（a）=
∫
1
0
[2a2-（lna）x3]dx（a＞0），求f（x）的最小值．
考點：定積分
專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：首先利用定積分求出f（a），然后求導(dǎo)，進一步求最小值．
解答： 解：f（a）=
∫
1
0
[2a2-（lna）x3]dx=[2a2x-
1
4
（lna）x4]|
 
1
0
=2a2-
1
4
lna，
f′（a）=4a-
1
4a
，令f′（a）=0，則a=
1
4
，
a∈（0，
1
4
）時，f′（a）＜0，f（a）為減函數(shù)；
a∈（
1
4
，+∞）時，f′（a）＞0，f（a）為增函數(shù)．
所以f（x）的最小值為f（
1
4
）=2×
1
16
-
1
4
ln
1
4
=
1
8
+
1
2
ln2．
點評：本題考查了定積分的計算以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=（3cosx，
3
sinx），
n
=（2cosx，-2cosx），函數(shù)f（x）=
m
•
n
．
（1）求f（x）的最小正周期和對稱軸方程；
（2）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（B）=0且b=2，cosA=
4
5
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知遞增的等比數(shù)列{an}前三項之積為8，且這三項分別加上1、2、2后又成等差數(shù)列．
（1）求等比數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若不等式an2+2nan-k≥0對一切n∈N*恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

曲線y=
1
x
在x=a處的切線的傾角為
3π
4
，則a=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=
1
3
an+n，n為奇數(shù)
an-3n，n為偶數(shù)

（I）求證：數(shù)列{a2n-
3
2
}是等比數(shù)列；
（II）若Sn是數(shù)列{an}的前n項和，求滿足Sn＞0的所有正整數(shù)n．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列命題：
①命題“?x∈R，x2+x+1＞0”的否定是“?x0∈R，x02+x0+1＜0”
②設(shè)回歸直線方程
y
=2-3x，當(dāng)變量x增加一個單位時，
y
平均增加3個單位
③已知sin（θ-
π
6
）=
1
3
，則cos（
π
3
-2θ）=
7
9
．
其中正確命題的個數(shù)為（　　）
A、0B、1C、2D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，邊長為2的正方形ABCD繞AB邊所在直線旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于180°）到ABEF的位置．
（Ⅰ）求證：CE∥平面ADF；
（Ⅱ）若K為線段BE上異于B，E的點，CE=2
2
．設(shè)直線AK與平面BDF所成角為φ，當(dāng)30°≤φ≤45°時，求BK的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知|cosθ|=
3
5
，且
5π
2
＜θ＜3π，求sin
θ
2
、cos
θ
2
、tan
θ
2
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC的頂點B（-1，-3），AB邊上的高線CE所在直線的方程為x-3y-1=0，BC邊上中線AD所在直線的方程為8x+9y-3=0．
（1）求直線AC的方程；
（2）求三角形面積．

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同步練習(xí)冊答案