Question

已知拋物線y=-x²+2引拋物線的切線l，使l與兩坐標軸在第一象限圍成三角形的面積最小，求l的方程．

Answer 1

【答案】分析：設切點P（x，-x²+2）（x＞0），由導數(shù)的幾何意義l的方程為y-（-x²+2）=-2x（x-x）．利用直線可求三角形的邊長，從而可求S，利用求導可求S的極值，進而可求S的最值，從而可求直線的方程
解答：解：設切點P（x，-x²+2）（x＞0），
由y=-x²+2得y′=-2x，
∴k₁=-2x．
∴l(xiāng)的方程為y-（-x²+2）=-2x（x-x）．（4分）
令y=0，得x=
令x=0，得y=x²+2，
∴三角形的面積為
S==
∴
令S′=0，得x=（∵x＞0），
∴當0＜x＜時，S′＜0；
當x＞時，S′＞0．
∴時，S取極小值．
∵只有一個極值，
∴x=時S最小，此時k₁=-，切點為（，）．
∴l(xiāng)的方程為y-=-（x-），
即2x+3y-8=0
點評：本題主要考查了利用導數(shù)的幾何意義求解切線的方程，利用函數(shù)的導數(shù)求解函數(shù)的極值與求解函數(shù)的最值，屬于函數(shù)知識的綜合應用．