Question

已知?jiǎng)訄AP過(guò)定點(diǎn)F（0，1），且與定直線y=-1相切．
（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心P的軌跡W的方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線l與軌跡W相交于A，B兩點(diǎn)，若在直線y=-1上存在點(diǎn)C，使△ABC為正三角形，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓圓心P（x，y），根據(jù)題意：點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)F（0，1）距離等于點(diǎn)P到定直線y=-1的距離，由此能求了動(dòng)圓圓心P的軌跡W的方程．
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線l的方程為y-1=kx，即y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．如果k=0，推導(dǎo)出|AB|+4，而|AC|=

(0-2)2+(-1-1)2

=2

2

，不符題意；如果k≠0，弦AB中點(diǎn)M（x₀，y₀）．則

y=kx+1 x2=4y

，得：x²-4kx-4=0，由此能求出直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓圓心P（x，y），
根據(jù)題意：點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)F（0，1）距離等于點(diǎn)P到定直線y=-1的距離，
即

x2+(y-1)2

=|y+1|，（3分）
 故：動(dòng)圓圓心P的軌跡W的方程為x²=4y．（5分）
（Ⅱ）顯然，直線的斜率k存在，
設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線l的方程為y-1=kx，即y=kx+1，（6分）
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①如果k=0，

y=1 x2=4y

，得A（-2，1），B（2，1），
故有|AB|+4，而|AC|=

(0-2)2+(-1-1)2

=2

2

，不符題意，所以k≠0．（7分）
②如果k≠0，弦AB中點(diǎn)M（x₀，y₀）．則

y=kx+1 x2=4y

，得：x²-4kx-4=0，
所以有：x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，（9分）
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=4k²+2，
x₀=

x1+x2

2

=2k，y₀=

y1+y2

2

=2k²+1，（11分），
即M（2k，2k²+1），
若在直線y=-1上存在點(diǎn)C，使△ABC為正三角形，
則設(shè)直線MC：y-（2k²+1）=-

1

k

（x-2k）與y=-1聯(lián)立，
解得x=4k+2k³，也就是C（4k+2k³，-1），
由

|CM|

|AB|

=

3

2

，得

(2k+2k3)2+(2k2+2)2

y1+y2+2

=

3

2

，（14分）
即k=±

2

，所以，直線l的方程為y=±

2

x+1．（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓心的軌跡方程的求法，考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．