Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，且na_n+1=2S_n，數(shù)列{b_n}滿足b₁=，b₂=，對任意n∈N^*．都有=b_n•b_n+2．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，若對任意的n∈N^*，不等式λnT_n+2b_nS_n＜2（λn+3b_n）恒成立，試求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用na_n+1=2S_n，再寫一式，兩式相減，再疊乘，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；在數(shù)列{b_n}中，由=b_n•b_n+2，b₁=，b₂=，知數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)、公比均為，由此可得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，再將不等式轉(zhuǎn)化為（1-λ）n²+（1-2λ）n-6＜0恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)，即可確定實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵na_n+1=2S_n，∴（n-1）a_n=2S_n-1（n≥2），兩式相減得，na_n+1-（n-1）a_n=2a_n，
∴na_n+1=（n+1）a_n=，即，
∴a_n==n（n≥2），
a₁=1滿足上式，故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n（n∈N^*）．
在數(shù)列{b_n}中，由=b_n•b_n+2，b₁=，b₂=，知數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)、公比均為，
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=；
（Ⅱ）∵T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=+2×+…+n×     ①
∴T_n=+2×+…+（n-1）×+       ②
由①-②，得T_n=+++…+-=1-，
∴T_n=2-
∴不等式λnT_n+2b_nS_n＜2（λn+3b_n）即為λn（2-）+＜2（λn+），
即（1-λ）n²+（1-2λ）n-6＜0恒成立．
設(shè)f（n）=（1-λ）n²+（1-2λ）n-6，
當(dāng)λ=1時(shí)，f（n）=-n-6＜0成立，則λ=1滿足條件；
當(dāng)λ＜1時(shí)，由二次函數(shù)性質(zhì)知不恒成立；
當(dāng)λ＞1時(shí)，由于＜0，則f（n）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，f（n）≤f（1）=-3λ-4＜0恒成立，則λ＞1滿足條件．
綜上所述，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[1，+∞）．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查恒成立問題，確定數(shù)列的通項(xiàng)，正確求和是關(guān)鍵．