設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,Sn=λan-1(λ為常數(shù),n=1,2,3,…).
(I)若a3=a22,求λ的值;
(II)是否存在實數(shù)λ,使得數(shù)列{an}是等差數(shù)列?若存在,求出λ的值;若不存在.請說明理由
(III)當(dāng)λ=2時,若數(shù)列{bn}滿足bn+1=an+bn(n=1,2,3,…),且b1=
3
2
,令cn=
an
(an+1) bn
,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn
分析:(I)利用Sn=λan-1,通過n=1,2,3,求出a1,a2,a3,利用a3=a22,即可求λ的值;
(II)通過反證法,假設(shè)存在實數(shù)λ,使得數(shù)列{an}是等差數(shù)列,則2a2=a1+a3,推出矛盾,所以不存在實數(shù)λ,使得數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
(III)當(dāng)λ=2時,求出數(shù)列{an}、數(shù)列{bn}的通項公式,通過cn=
an
(an+1) bn
,化簡裂項,然后求數(shù)列{cn}的前n項和Tn
解答:解:(I)因為Sn=λan-1,
所以a1=λa1-1,a2+a1=λa2-1,a3+a2+a1=λa3-1,
由a1=λa1-1可知λ≠1,
所以a1=
1
λ-1
,a2=
λ
(λ-1)2
,a3=
λ2
(λ-1)3
,
因為a3=a22
所以
λ2
(λ-1)4
=
λ2
(λ-1)3
,
所以λ=0或λ=2.
(II)假設(shè)存在實數(shù)λ,使得數(shù)列{an}是等差數(shù)列,則2a2=a1+a3
由(I)可知,
2 λ
(λ-1)2
=
1
λ-1
+
λ2
(λ-1)3
,
所以
2 λ
(λ-1)2
=
2λ2-2λ+1
(λ-1)3
,即1=0,矛盾,
所以不存在實數(shù)λ,使得數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
(III)當(dāng)λ=2時,Sn=2an-1,
所以Sn-1=2an-1-1,且a1=1,
所以an=2an-2an-1,即an=2an-1  (n≥2).
所以an≠0(n∈N*),且
an
an-1
=2
(n≥2).
所以數(shù)列{an}是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,
所以an=2an-1(n∈N*),
因為bn+1=an+bn(n=1,2,3,…),且b1=
3
2
,
所以bn=an-1+bn-1=an-1+an-2+bn-2=…=an-1+an-2+…+a1+b1
=
2n+1
2
  n≥ 2

當(dāng)n=1時上式也成立.
所以bn=
2n+1
2
    n∈N*

因為cn=
an
(an+1)bn

所以cn=
2n-1
(2n-1+1) 
2n+1
2
=
2•2n-1
(2n-1+1) (2n+)

因為
2n-1
(2n-1+1)(2n+1)
=
1
2n-1+1
-
1
2n+1
,
所以Tn=C1+C2+…+Cn
=2(
1
2
-
1
2+1
+
1
2+1
-
1
22+1
+…+
1
2n-1+1
-
1
2n+1
)

=1-
2
2n+1

=
2n-1
2n+1
點評:本題根據(jù)已知條件求出數(shù)列遞推關(guān)系式中的變量,考查數(shù)列通項公式的求法,考查數(shù)列求和裂項法的應(yīng)用,考查計算能力,轉(zhuǎn)化思想,注意題目的隱含條件的應(yīng)用.
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1
2n
,n∈N+,則a2+a4+a6+…+a100=
1
3
(1-
1
2100
)
1
3
(1-
1
2100
)

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Sn
}
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設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前N項和,且有S1=a,Sn+Sn-1=3n2,n=2,3,4,…
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)若數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列,求a的取值范圍.

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