Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxsin（$\frac{π}{2}$-x）-cos²x+$\frac{1}{2}$（x∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對角，B為銳角，f（B）=$\frac{1}{2}$，A=$\frac{π}{6}$，BC邊上的中線AM的長為$\sqrt{7}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)f（B）=$\frac{1}{2}$，求出B．利用BC邊上的中線AM的長為$\sqrt{7}$，結(jié)合勾股定理求解△ABC的面積．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxsin（$\frac{π}{2}$-x）-cos²x+$\frac{1}{2}$（x∈R）．
化簡可得：f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
（Ⅰ）$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x-$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$-\frac{π}{6}+kπ$≤x≤$\frac{π}{3}+kπ$．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$-\frac{π}{6}+kπ$，$\frac{π}{3}+kπ$]，k∈Z．
（Ⅱ）f（B）=$\frac{1}{2}$，即sin（2B-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
B為銳角，
∴B=$\frac{π}{6}$．
又∵A=$\frac{π}{6}$，即a=b．
∴△ABC是等腰三角形．
∴C=$\frac{2π}{3}$
BC邊上的中線AM的長為$\sqrt{7}$，
由三角形的中線定理可得：7=$\frac{2^{2}+2{c}^{2}-{a}^{2}}{4}$，
得：28=2c²+b²…①．
由正弦定理：可得：$\frac{sin\frac{π}{6}}=\frac{c}{sin\frac{2π}{3}}$，即$\sqrt{3}b=c$…②．
由①②可得：b=2，c=2$\sqrt{3}$
那么△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2×\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，正余弦定理的計算，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．