Question

如圖，底面為正三角形，面， 面，，設為的中點．

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

 

 

Answer 1

（1）詳見解析;(2)．

【解析】

試題分析：（1）過F作FH∥EA交AB于H，連接HC，由已知中EA⊥面ABC，DC⊥面ABC，我們根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得EA∥DC∥FH，進而得到四邊形CDFH是平行四邊形，則DF∥HC，再由線面平行的判定定理即可得到DF∥平面ABC；

（2）由△ABC為正三角形，H為AB中點，EA⊥面ABC，利用等邊三角形的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)可得CH⊥AB，CH⊥EA，再由線面垂直的判定定理可得CH⊥面EAB，結(jié)合DF∥CH，可得DF⊥面EAB，則∠DAF為直線AD與平面AEB所成角，解RT△AFD即可得到直線AD與平面AEB所成角的正弦值．

試題解析：（1）證明：過作交于，連結(jié)，

平面，平面，

，又，

而是的中點，∴

所以四邊形是平行四邊形，，

又平面，平面，

平面． 4分

（2）為正三角形，為中點，，

面，面，，

面，面，

，面，

為在面上的射影，

所以為直線與平面所成角，

在中，，

所以直線與平面所成角的正弦值為． 10分

考點：1.線面平行的判定；2.線面角的求法．