Question

（2012•盧灣區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=

x+1-t

t-x

（t為常數(shù)）．
（1）當(dāng)t=1時(shí)，在圖中的直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=f（x）的大致圖象，并指出該函數(shù)所具備的基本性質(zhì)中的兩個(gè)（只需寫(xiě)兩個(gè)）．
（2）設(shè)a_n=f（n）（n∈N^*），當(dāng)t＞10，且t∉N^*時(shí)，試判斷數(shù)列{a_n}的單調(diào)性并由此寫(xiě)出該數(shù)列中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)（可用[t]來(lái)表示不超過(guò)t的最大整數(shù)）．
（3）利用函數(shù)y=f（x）構(gòu)造一個(gè)數(shù)列{x_n}，方法如下：對(duì)于給定的定義域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1）（n≥2，n∈N^*），…在上述構(gòu)造過(guò)程中，若x_i（i∈N^*）在定義域中，則構(gòu)造數(shù)列的過(guò)程繼續(xù)下去；若x_i不在定義域中，則構(gòu)造數(shù)列的過(guò)程停止．若取定義域中的任一值作為x₁，都可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)無(wú)窮數(shù)列{x_n}，求實(shí)數(shù)t的值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)t=1時(shí)，f（x）=

x

1-x

=-1+

-1

x-1

，畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用圖象可得函數(shù)的性質(zhì)；
（2）a_n=

n+1-t

t-n

=-1+

-1

n-t

，確定1≤n≤[t]，n∈N^*時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，且此時(shí)a_n均大于-1；n≥[t]+1，n∈N^*時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，且此時(shí)a_n均小于-1，由此可得結(jié)論
（3）函數(shù)f（x）=

x+1-t

t-x

=t在R中無(wú)實(shí)數(shù)解，亦即當(dāng)x≠t時(shí)，方程（1+t）x=t²+t-1無(wú)實(shí)數(shù)解，從而可得實(shí)數(shù)t的值．

解答：解：（1）當(dāng)t=1時(shí)，f（x）=

x

1-x

=-1+

-1

x-1

．
圖象如圖：（2分）
基本性質(zhì)：（每個(gè)2分）
奇偶性：既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)；
單調(diào)性：在（-∞，1）和（1，+∞）上分別遞增；
零點(diǎn)：x=0；
最值：無(wú)最大、小值．（6分）
（2）a_n=

n+1-t

t-n

=-1+

-1

n-t

，
當(dāng)1≤n≤[t]，n∈N^*時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，且此時(shí)a_n均大于-1，
當(dāng)n≥[t]+1，n∈N^*時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，且此時(shí)a_n均小于-1，（8分）
因此，數(shù)列中的最大項(xiàng)為a_[t}=

[t]+1-t

t-[t]

，（10分）
最小項(xiàng)為a_[t}+1=

[t]+2-t

t-1-[t]

．（12分）
（3）由題意，函數(shù)f（x）=

x+1-t

t-x

=t在R中無(wú)實(shí)數(shù)解，
亦即當(dāng)x≠t時(shí)，方程（1+t）x=t²+t-1無(wú)實(shí)數(shù)解．（14分）
由于x=t不是方程（1+t）x=t²+t-1的解，（16分）
因此對(duì)任意x∈R，使方程（1+t）x=t²+t-1無(wú)實(shí)數(shù)解，則t=-1為所求．（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，考查方程解的研究，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．