Question

15．若對任意的 x，y∈（0，+∞），不等式e^x+y-4+e^x-y-4+6≥4xlna恒成立，則正實數(shù)a的最大值是（　�。�

• A． $\sqrt{e}$
• B． $\frac{1}{2}e$
• C． e
• D． 2e

Answer 1

分析 通過參數(shù)分離，利用基本不等式放縮可知問題轉(zhuǎn)化為2lna≤$\frac{3+{e}^{x-4}}{x}$在x＞0時恒成立，記g（x）=$\frac{3+{e}^{x-4}}{x}$，二次求導并結(jié)合單調(diào)性可知當x=4時g（x）取得最小值g（4）=1，進而計算即得結(jié)論．

解答 解：設(shè)f（x）=e^x+y-4+e^x-y-4+6，則問題轉(zhuǎn)化為不等式4xlna≤f（x）恒成立．
又∵f（x）=e^x-4（e^y+e^-y）+6≥6+2e^x-4（當且僅當y=0時取等號），
∴4xlna≤6+2e^x-4，即有2lna≤$\frac{3+{e}^{x-4}}{x}$在x＞0時恒成立，
記g（x）=$\frac{3+{e}^{x-4}}{x}$，則g′（x）=$\frac{{e}^{x-4}（x-1）-3}{{x}^{2}}$，
令g′（x）=0，即（x-1）e^x-4=3，
記h（x）=（x-1）e^x-4，則h′（x）=xe^x-4，
∵x＞0，e^x-4＞0，
∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
又∵h（4）=3，即有（x-1）e^x-4=3的根為4，
∴當x＞4時g（x）遞增，當0＜x＜4時g（x）遞減，
∴當x=4時，g（x）取得最小值g（4）=1，
∴2lna≤1，lna≤$\frac{1}{2}$，
∴0＜a≤$\sqrt{e}$，（當x=2，y=0時，a取得最大值$\sqrt{e}$），
故選：A．

點評 本題考查不等式恒成立問題的常用方法是注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)再利用導數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于難題．