Question

【題目】定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)，對(duì)于任意的m，n∈(0，＋∞)，都有f(mn)＝f(m)＋f(n)成立，當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0.

(1)求證：1是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)；

(2)求證：f(x)是(0，＋∞)上的減函數(shù)；

(3)當(dāng)f(2)＝時(shí)，解不等式f(ax＋4)>1．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）時(shí)解集為，時(shí)，解集為，時(shí)解集為.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)令m＝n＝1，則f（1）＝2f（1），∴f（1）＝0，即可得1是函數(shù) f （x）的零點(diǎn)；（2）設(shè)．

即因，則．而當(dāng)x>1時(shí)，，從而．所以f（x）在（0，＋∞）上是減函數(shù)（3）因?yàn)?/span>，所以不等式轉(zhuǎn)化為f（ax＋4）>f（4），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可得，然后分三種情況討論，解得不等式

試題解析：（1）對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)m，n都有f（mn）＝f（m）＋f（n）成立，所以令m＝n＝1，則f（1）＝2f（1）．

∴f（1）＝0，即1是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)．

（2）設(shè)．

即因，則．而當(dāng)x>1時(shí)，，從而．所以f（x）在（0，＋∞）上是減函數(shù)．

（3）因?yàn)?/span>，所以不等式f（ax＋4）>1可以轉(zhuǎn)化為

因?yàn)?/span>f（x）在（0，＋∞）上是減函數(shù)，所以．

當(dāng)a＝0時(shí)，解集為；

當(dāng)a>0時(shí)，－4<ax<0，即－<x<0，解集為；

當(dāng)a<0時(shí)，－4<ax<0，即0<x<－，解集為}．