Question

四面體ABCD中，AC=BD，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，且，∠BDC=90°，求證：BD⊥平面ACD．

Answer 1

【答案】分析：欲證BD⊥平面ACD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證BD與平面ACD內(nèi)兩相交直線垂直，取CD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，根據(jù)勾股定理可證得EG⊥FG，又BD⊥CD，AC∩CD=C，結(jié)論得證．
解答：證明：取CD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，∵E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，
∴EG；FGBD，又AC=BD，∴，
∴在△EFG中，
∴EG⊥FG，∴BD⊥AC，又∠BDC=90°，即BD⊥CD，AC∩CD=C，
∴BD⊥平面ACD．
點(diǎn)評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．