Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{6}x+2，x＞a}\\{{x}^{2}+3x+2，x≤a}\end{array}\right.$，函數(shù)g（x）=f（x）-ax，恰有三個不同的零點，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{1}{6}$，3-2$\sqrt{2}$）
• B． （$\frac{1}{6}$，$\frac{3}{2}$）
• C． （-∞，3-2$\sqrt{2}$）
• D． （3-2$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 利用函數(shù)g（x）=f（x）-ax，恰有三個不同的零點，推出函數(shù)f（x）與y=ax有3個交點，轉(zhuǎn)化為直線y=ax與f（x）=x²+3x+2，x≤a有2個交點，與f（x）=$\frac{1}{6}x+2$，x＞a有1個交點，列出不等式求解即可．

解答 解：函數(shù)g（x）=f（x）-ax，恰有三個不同的零點，就是函數(shù)f（x）與y=ax有3個交點，也就是函數(shù)y=ax與f（x）=x²+3x+2，x≤a的圖象有2個交點，y=ax與f（x）=$\frac{1}{6}x+2$，x＞a的圖象有1個交點，
畫出函數(shù)f（x）與y=ax的圖象如圖，

函數(shù)y=ax，看做直線斜率為a，由圖象可知a$＞\frac{1}{6}$，a小于直線與拋物線相切時的斜率，
可得$\left\{\begin{array}{l}{y=ax}\\{y={x}^{2}+3x+2}\end{array}\right.$，可得x²+（3-a）x+2=0，△=（3-a）²-8=0，解得a=3-2$\sqrt{2}$．
綜上a∈（$\frac{1}{6}$，3-2$\sqrt{2}$）．
故選：A．

點評 本題考查函數(shù)的零點個數(shù)的求法與應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及分析問題解決問題的能力．