Question

16．各項(xiàng)均不為0的數(shù)列{a_n}滿足$\frac{{{a_{n+1}}（{{a_n}+{a_{n+2}}}）}}{2}={a_{n+2}}{a_n}$，且a₂=2a₆=$\frac{1}{5}$，則數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前10項(xiàng)和為$\frac{375}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，再根據(jù)a₂=2a₆=$\frac{1}{5}$，求出公差和首項(xiàng)，根據(jù)前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可．

解答 解：∵$\frac{{a}_{n+1}（{a}_{n}+{a}_{n+2}）}{2}$=a_n+2a_n，
∴a_n+1a_n+a_n+1a_n+2=2a_n+2a_n，
兩邊同除以a_na_n+1a_n+2得$\frac{1}{{a}_{n+2}}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{{a}_{n+1}}$，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，
∵a₂=2a₆=$\frac{1}{5}$，
∴$\frac{1}{{a}_{2}}$=5，$\frac{1}{{a}_{6}}$=10，
設(shè){$\frac{1}{{a}_{n}}$}的公差為d，
∴4d=5，
∴d=$\frac{5}{4}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{15}{4}$，
∴數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前10項(xiàng)和10×$\frac{15}{4}$+$\frac{10×（10-1）}{2}$×$\frac{5}{4}$=$\frac{375}{4}$
故答案為：$\frac{375}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推公式和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．