對于定義在D上的函數(shù)f（x），如果存在常數(shù)M和N，使得對于任意x∈D，都有M≤f（x）≤N成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的一個下界，N稱為函數(shù)f（x）的一個上界．
（1）判斷函數(shù)f（x）=log2x-x2在（0，+∞）上是否為有界函數(shù)，不必說明理由；
（2）判斷函數(shù)f（x）=1+（
1
2
）x+（
1
4
）x在[0，+∞）上是否為有界函數(shù)，請說明理由
（3）若函數(shù)f（x）=1+a（
1
2
）x+（
1
4
）x在[0，+∞）上是有界函數(shù)，且3是f（x）的一個上界，-3是f（x）的一個下界，求實數(shù)a的取值范圍．
分析：（1）根據(jù)有界函數(shù)的定義直接判斷即可，（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論，（3）根據(jù)函數(shù)的有界性，建立條件關(guān)系即可求出a的取值范圍．
解答：解：（1）函數(shù)f（x）=log2x-x2在（0，+∞）上不是有界函數(shù)．
（2）∵f（x）=1+（
1
2
）x+（
1
4
）x，
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
∴f（x）≥f（0）=3，
即f（x）在（-∞，0）的值域為[3，+∞），
故存在常數(shù)M≤3，使|f（x）|≥M成立．
但不存在N，使f（x）≤N成立，
∴函數(shù)f（x）在[0，+∞）上不是有界函數(shù)． 
（3）若函數(shù)f（x）=1+a（
1
2
）x+（
1
4
）x在[0，+∞）上是有界函數(shù)，且3是f（x）的一個上界，-3是f（x）的一個下界，
則|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，
設(shè)t=（
1
2
）x，t∈（0，1]，由-3≤f（x）≤3，
得-3≤1+at+t2≤3，
∴-（t+
4
t
 ）≤a≤
2
t
-t在（0，1]上恒成立…（6分）
設(shè)h（t）=-t-
4
t
，p（t）=
2
t
-t，
則h（t）在（0，1]上遞增；p（t）在（0，1]上遞減，
h（t）在（0，1]上的最大值為h（1）=-5；
p（t）在（0，1]上的最小值為p（1）=1，
∴實數(shù)a的取值范圍為[-5，1]．
點評：本題主要考查函數(shù)的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，正確理解新定義，合理地進行等價轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于定義在D上的函數(shù)y=f（x），若同時滿足．
①存在閉區(qū)間[a，b]⊆D，使得任取x1∈[a，b]，都有f（x1）=c （c是常數(shù)）；
②對于D內(nèi)任意x2，當x2∉[a，b]時總有f（x2）＞c稱f（x）為“平底型”函數(shù)．
（1）（理）判斷f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函數(shù)？簡要說明理由；
（文）判斷f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x-|x-3|是否是“平底型”函數(shù)？簡要說明理由；
（2）（理）設(shè)f（x）是（1）中的“平底型”函數(shù)，若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），k∈R且k≠0，對一切t∈R恒成立，求實數(shù)x的范圍；
（文）設(shè)f（x）是（1）中的“平底型”函數(shù)，若|t-1|+|t+1|≥f（x），對一切t∈R恒成立，求實數(shù)x的范圍；
（3）（理）若F（x）=mx+
x2+2x+n
，x∈[-2，+∞）是“平底型”函數(shù)，求m和n的值；
（文）若F（x）=m|x-1|+n|x-2|是“平底型”函數(shù)，求m和n滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于定義在D上的函數(shù)f（x），若存在距離為d的兩條直線y=kx+m1和y=kx+m2，使得對任意x∈D都有kx+m1≤f（x）≤kx+m2恒成立，則稱函數(shù)f（x）（x∈D）有一個寬度為d的通道．給出下列函數(shù)：①f(x)=
1
x
，②f（x）=sinx，③f(x)=
x2-1
，其中在區(qū)間[1，+∞）上通道寬度可以為1的函數(shù)有（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于定義在D上的函數(shù)y=f（x），若同時滿足①存在閉區(qū)間[a，b]⊆D，使得任取x1∈[a，b]，都有f（x1）=c（c是常數(shù)）；②對于D內(nèi)任意x2，當x2∉[a，b]時總有f（x2）＞c；則稱f（x）為“平底型”函數(shù)．
（1）判斷f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函數(shù)？簡要說明理由；
（2）設(shè)f（x）是（1）中的“平底型”函數(shù)，若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），（k∈R，k≠0）對一切t∈R恒成立，求實數(shù)x的范圍；
（3）若F(x)=mx+
x2+2x+n
，x∈[-2，+∞)是“平底型”函數(shù)，求m和n的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于定義在D上的函數(shù)y=f（x），若同時滿足：①f（x）在D內(nèi)單調(diào)；②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在區(qū)間[a，b]上值域為[a，b]，則函數(shù)y=f（x）（x∈D）稱為閉函數(shù)．按照上述定義，若函數(shù)y=
2x
為閉函數(shù)，則符合條件②的區(qū)間[a，b]可以是
[1，2]或[-2，-1]等等（答案不唯一）
[1，2]或[-2，-1]等等（答案不唯一）
．

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