Question

某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本（萬元）與年產(chǎn)量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸。      
（1）求年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求每噸產(chǎn)品平均最低成本；
（2）若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？

Answer 1

（1）年產(chǎn)量為200噸時(shí)，每噸平均成本最低為32萬元；  
（2）年產(chǎn)量為210噸時(shí)，可獲得最大利潤1660萬元。  

本題考查將實(shí)際問題的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題、考查利用基本不等式求函數(shù)的最值需滿足：一正、二定、三相等、考查求二次函數(shù)的最值關(guān)鍵看對(duì)稱軸
（1）利用總成本除以年產(chǎn)量表示出平均成本；利用基本不等式求出平均成本的最小值．
（2）利用收入減去總成本表示出年利潤；通過配方求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸；由于開口向下，對(duì)稱軸處取得最大值．
解：（1）生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本為
，             
由于，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立。     
答：年產(chǎn)量為200噸時(shí)，每噸平均成本最低為32萬元；  
（2）設(shè)年利潤為，則 
，         
由于在上為增函數(shù)，故當(dāng)
時(shí)，的最大值為1660。
答：年產(chǎn)量為210噸時(shí)，可獲得最大利潤1660萬元。