Question

已知α，β都是銳角，sinα=

4

5

，cos(α+β)=

5

13

，求sinβ的值．

Answer 1

分析：由α，β都是銳角，得出α+β的范圍，由sinα和cos（α+β）的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系分別求出cosα和sin（α+β）的值，然后把所求式子的角β變?yōu)椋é?β）-α，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，把各自的值代入即即可求出值．

解答：解：∵0＜α＜

π

2

，0＜β＜

π

2

，sinα=

4

5

，cos(α+β)=

5

13

∴0＜α+β＜πcosα=

1-sin2α

=

1- 16 25

=

3

5

sin(α+β)=

1-cos2(α+β)

=

1- 25 169

=

12

13

∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=

12

13

×

3

5

-

5

13

×

4

5

=

16

65

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)注意角度的范圍．