Question

3．已知m∈R，復(fù)數(shù)$z=\frac{m（m+2）}{m-1}+（{m^2}+2m-1）i$，當(dāng)m為何值時(shí)：
（1）z∈R；
（2）z是虛數(shù)；
（3）z是純虛數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)虛部為零，列出方程進(jìn)行求解；
（2）令它的實(shí)部為不為零，虛部不為零，列出方程及不等式進(jìn)行求解；
（3）根據(jù)實(shí)部為零，虛部不為零列出不等式組進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)z∈R，當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+2m-1=0}\\{m-1≠0}\end{array}\right.$，解得m=-1±$\sqrt{2}$，
∴當(dāng)m=-1±$\sqrt{2}$，z是實(shí)數(shù)；
（2）當(dāng)z是虛數(shù)時(shí)，則有$\left\{\begin{array}{l}{m-1≠0}\\{{m}^{2}+2m-1≠0}\end{array}\right.$，解得m≠-1±$\sqrt{2}$且m≠1
即m≠-1±$\sqrt{2}$且m≠1，z是虛數(shù)；
（3）當(dāng)z是純虛數(shù)時(shí)，則有$\left\{\begin{array}{l}{m-1≠0}\\{m（m+2）=0}\end{array}\right.$，且m²+2m-1≠0，解得m=0或m=-2．
即m=0或m=-2，z是純虛數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查了復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵是理解復(fù)數(shù)的分類及復(fù)數(shù)的幾何意義：復(fù)數(shù)與平面內(nèi)的點(diǎn)一一對應(yīng)．