Question

如圖，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的底面邊長為3，側(cè)棱長為4，連接A₁B，過A作AF⊥A₁B垂足為F，且AF的延長線交B₁B于E．
（1）求證：D₁B⊥平面AEC；
（2）求二面角B-AE-C的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標系，利用向量的數(shù)量積公式，證明

D1B

•

AE

=0，

D1B

•

AC

=0，即可得到結(jié)論；
（2）確定

D1B

=（3，3，-4）是平面AEC的一個法向量，

n

=（-1，0，0）是平面ABE的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求得二面角B-AE-C的平面角的正切值．

解答：（1）證明：根據(jù)題意，建立空間直角坐標系如圖所示，
則A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），E（3，3，

9

4

），D₁（0，0，4）．
∵

D1B

=（3，3，-4），

AE

=（0，3，

9

4

），

AC

=（-3，3，0）
∴

D1B

•

AE

=0，

D1B

•

AC

=0
∴

D1B

⊥

AE

，

D1B

⊥

AC

∵AE∩AC=A
∴D₁B⊥平面AEC；
（2）解：由（1）知，D₁B⊥平面AEC，∴

D1B

=（3，3，-4）是平面AEC的一個法向量．
又∵

n

=（-1，0，0）是平面ABE的一個法向量，
∴cos＜

D1B

，

n

＞=

n • D1B

| n || D1B |

=

3

34

∴tan＜

D1B

，

n

＞=

5

3

，即二面角B-AE-C的平面角的正切值為

5

3

．

點評：本題考查線面垂直，考查面面角，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．