Question

已知三角形△ABC的三邊長成公差為2的等差數(shù)列，且最大角的正弦值為，則這個(gè)三角形的周長是（ ）
A．18
B．21
C．24
D．15

Answer 1

【答案】分析：設(shè)三角形的三邊分別為a、b、c，且a＞b＞c＞0，設(shè)公差為d=2，三個(gè)角分別為、A、B、C，則a-b=b-c=2，a=c+4，b=c+2，因?yàn)閟inA=，所以A=60°或120°．若A=60°，因?yàn)槿龡l邊不相等，則必有角大于A，矛盾，故A=120°．由余弦定理能求出三邊長，從而得到這個(gè)三角形的周長．
解答：解：不妨設(shè)三角形的三邊分別為a、b、c，且a＞b＞c＞0，
設(shè)公差為d=2，三個(gè)角分別為、A、B、C，
則a-b=b-c=2，
a=c+4，b=c+2，
∵sinA=，
∴A=60°或120°．
若A=60°，因?yàn)槿龡l邊不相等，
則必有角大于A，矛盾，故A=120°．
cosA=
=
=
=-．
∴c=3，
∴b=c+2=5，a=c+4=7．
∴這個(gè)三角形的周長=3+5+7=15．
故選D．
點(diǎn)評：本題考查三角形的周長的求法，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．解題是要認(rèn)真審題，注意余弦定理的合理運(yùn)用．