Question

（2008•深圳一模）（不等式選講選做題）已知點P是邊長為2

3

的等邊三角形內(nèi)一點，它到三邊的距離分別為x、y、z，則x、y、z所滿足的關(guān)系式為

x+y+z=3

，x²+y²+z²的最小值是

3

．

Answer 1

分析：設(shè)等邊三角形的邊長為a，高為h將P與三角形的各頂點連接，進而分別表示出三角形三部分的面積，相加應(yīng)等于總的面積建立等式求得x+y+z的值；再利用：（x²+y²+z²）×（1+1+1 ）≥（x+y+z）²這個不等關(guān)系進行求最小值即可．

解答：解：設(shè)等邊三角形的邊長為a，高為h
將P與三角形的各頂點連接
根據(jù)面積
那么：

1

2

ax+

1

2

ay+

1

2

az=

1

2

ah
所以x+y+z=h
因為等邊三角形的邊長為2

3

，所以高為h=3
所以x．y．z所滿足的關(guān)系是為：x+y+z=3
∵（x²+y²+z²）×（1+1+1 ）≥（x+y+z）²=9，
∴x²+y²+z²≥9×

1

3

=3，
故 x²+y²+z²的最小值為3，
故答案為：x+y+z=3；3．

點評：本題主要考查了三角形中的幾何計算、平均值不等式在函數(shù)極值中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析問題的能力和轉(zhuǎn)化和化歸的思想．