某企業(yè)為了適應(yīng)市場要求,計劃從2011年起,在每月固定投資5萬元的基礎(chǔ)上,元月份追加投資6萬元,以后每月的追加投資額均為之前幾個月投資總和的20%,但每月追加部分的最高限額為10萬元,記第個月的投資額為an(萬元).
(1)求an與n的關(guān)系式;
(2)預(yù)計2011年全年共需投資多少萬元?
(精確到0.01,參考數(shù)據(jù):1.22=1.44,1.23≈1.73,1.24≈2.07,1.25≈2.49,1.26≈2.99)
分析:(1)2011年1月共投資a1萬元,2月共投資a2萬元,3月共投資a3萬元,由此可推得an;再由an=sn-sn-1,可得sn的解析式,從而得sn-1、an的解析式;
(2)2011年全年共需投資為s12=a1+a2+a3+a4+a5+…+a12,計算結(jié)果即可.
解答:解:(1)2011年1月,共投資a
1=5+6萬元,
2011年2月,共投資a
2=5+a
1×20%=5+(5+6)×20%萬元,
2011年3月,共投資a
3=5+[a
1+a
2]×20%=5+[5+6+5+(5+6)×20%]×20%萬元,
∴a
n=5+s
n-1×20%,其中s
n-1×20%≤10;
由a
n=s
n-s
n-1=5+s
n-1×20%,得5s
n-5s
n-1=25+s
n-1,
∴5s
n-6s
n-1=25,即5[s
n+25]=6[s
n-1+25],
∴s
n+25=(s
1+25)•
()n-1=(a
1+25)•
()n-1=36×
()n-1,
∴s
n=-25+36×
()n-1,∴s
n-1=-25+36×
()n-2;
∴a
n=5+s
n-1×20%=5+[-25+36×
()n-2]×
=6×
()n-1;
∵s
n-1×20%≤10,∴s
n-1≤50,即-25+36×
()n-2≤50,得n=N=3,
當(dāng)n≤N=3時,a
n=6×
()n-1,其中a
1=11;
當(dāng)n>N=3時,a
n=5+10=15;
(2)2011年全年的投資為:
s
12=a
1+a
2+a
3+(a
4+a
5+…+a
12)=11+6×(
)+6×
()2+9×15=11+
+
+135=146+
=161.84萬元
點評:本題考查了由遞推公式求數(shù)列通項的應(yīng)用問題以及求數(shù)列前n項和的問題,解題時也可以直接求出數(shù)列{an}的每一項,然后求和.