Question

20．已知2S_n=na_n+2（n≥2），a₂=2，求a_n的通項公式．

Answer 1

分析 由已知結(jié)合數(shù)列遞推式求首項，再由數(shù)列遞推式得當(dāng)n≥2時，有2S_n-1=（n-1）a_n-1+2，與原數(shù)列遞推式作差可得（n-2）a_n=（n-1）a_n-1，進(jìn)一步得到當(dāng)n≥3時，有$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n-1}{n-2}$，然后利用累積法求得a_n的通項公式．

解答 解：由2S_n=na_n+2，得2S₂=2（a₁+a₂）=2a₂+2，解得a₁=1；
當(dāng)n≥2時，有2S_n-1=（n-1）a_n-1+2，
兩式作差可得：2a_n=na_n-（n-1）a_n-1 （n≥2），
即（n-2）a_n=（n-1）a_n-1，
∴當(dāng)n≥3時，有$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n-1}{n-2}$，
∴$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{2}{1}$，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}=\frac{3}{2}$，$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}=\frac{4}{3}$，…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n-1}{n-2}$，
以上n-2個式相乘得，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{2}}$=n-1，
∴a_n=2n-2，
當(dāng)n=2時a₂=2符合上式，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2n-2，n≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了累積法求數(shù)列的通項公式，是中檔題．