Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的最小值；

（2）設函數(shù)，討論函數(shù)的零點個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）（2）當時，有0個零點；當或時，有1個零點；當時，有2個零點.

【解析】

（1）令求導，令，求出的值，進而求出單調(diào)區(qū)間，極小值，求出最小值；

（2）求，求出單調(diào)區(qū)間和極值，得出，等價轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為求直線與函數(shù)的圖像交點個數(shù)，通過求導數(shù)的方法，研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值和圖像變化趨勢，即可求解.

解：（1）令

，

令，，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，

所以時，取得極小值，也是最小值，

所以；

（2），令，

的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是，

所以的極小值為，也是最小值，.

所以，

因為，

令，

令，

的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是，

所以的極小值為，也是最小值，

所以，

所以的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是，

又因為，且，

所以，當時，有0個零點；

當或時，有1個零點；

當時，有2個零點.