某種空氣清潔劑在實(shí)驗(yàn)效果時,發(fā)現(xiàn)空氣含劑量y(μg/m3)與時間x之間存在函數(shù)關(guān)系,其變化的圖象如下圖所示.其中的曲線部分是某函數(shù)y=log
12
(x+b)的圖象(虛線部分為曲線的延展).圖中表明,噴灑1小時后,空氣含劑量最高,達(dá)到3μg/m3,以后逐步減小.
(1)求出空氣含劑量y關(guān)于時間x的函數(shù)表達(dá)式及定義域.
(2)實(shí)驗(yàn)證明,當(dāng)空氣含劑量不低于2μg/m3時,空氣清潔的效果最佳.求一次噴灑的“最佳效果”持續(xù)時間.
分析:將點(diǎn)(1,3)分別代入y=kx,y=log
1
2
(x+b)中,求k、b,確定函數(shù)關(guān)系式,再把y=2代入兩個函數(shù)式中求t,把所求兩個時間t作差即可.
解答:解:(1)當(dāng)x≤1時,圖象是一線段,得解析式為y=kx,將點(diǎn)(1,3)坐標(biāo)代入得k=3,∴y=3x
把(1,3)坐標(biāo)代入y=log
1
2
(x+b)得.
log
(1+b)
1
2
=3,∴1+b=(
1
2
)3
=
1
8
,∴b=-
7
8
∴y=
log
(x-
7
8
)
1
2

∴,令y=0得x=
15
8

∴函數(shù)的解析式為:y=
3x,0≤x≤1
log
(x-
7
8
)
1
2
,1≤x≤
15
8

(2)當(dāng)0≤x≤1時,在y=3x中令y=2得x1=
2
3
,
當(dāng)1≤x≤
15
8
時,在y=
log
(x-
7
8
)
1
2

中,令y=2得:
log
(x-
7
8
)
1
2
=2,得x2=
9
8

x=x2-x1=
9
8
-
2
3
=
11
24

故最佳效果持續(xù)時間為
11
24
小時.
點(diǎn)評:本題考查了分段函數(shù),以及函數(shù)與方程的思想、分類討論的思想,屬于基礎(chǔ)題.解決實(shí)際問題關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型.
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(1)求出空氣含劑量y關(guān)于時間x的函數(shù)表達(dá)式及定義域.
(2)實(shí)驗(yàn)證明,當(dāng)空氣含劑量不低于2μg/m3時,空氣清潔的效果最佳.求一次噴灑的“最佳效果”持續(xù)時間.

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2
(x+b)的圖象(虛線部分為曲線的延展).圖中表明,噴灑1小時后,空氣含劑量最高,達(dá)到3μg/m3,以后逐步減小.
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(1)求出空氣含劑量y關(guān)于時間x的函數(shù)表達(dá)式及定義域.
(2)實(shí)驗(yàn)證明,當(dāng)空氣含劑量不低于2μg/m3時,空氣清潔的效果最佳.求一次噴灑的“最佳效果”持續(xù)時間.

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