Question

（2010•南充一模）已知a，b，c都是正數(shù)，且a+2b+c=1，則

1

a

+

1

b

+

1

c

的最小值是

6+4

2

．

Answer 1

分析：先利用a+2b+c=1與

1

a

+

1

b

+

1

c

相乘，然后展開(kāi)利用均值不等式求解即可，注意等號(hào)成立的條件．

解答：解：∵a，b，c都是正數(shù)，且a+2b+c=1，
∴

1

a

+

1

b

+

1

c

=（a+2b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）
=4+

2b

a

+

a

b

+

c

a

+

a

c

+

c

b

+

2b

c

≥4+2

2

+2+2

2

=6+4

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)a=c=

2

b時(shí)等號(hào)成立．
∴

1

a

+

1

b

+

1

c

的最小值是6+4

2

．
故答案為：6+4

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了均值不等式，利用基本不等式求函數(shù)最值是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，本題解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用“1”的代換，屬于中檔題．