Question

20、已知函數(shù)f（x）=4^x+m•2^x+1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍，并求出該零點(diǎn)．

Answer 1

分析：先將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，再令2^x=t（t＞0）轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再利用根的分布求解．

解答：解：∵f（x）=4^x+m•2^x+1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
即方程（2^x）²+m•2^x+1=0僅有一個(gè)實(shí)根．
設(shè)2^x=t（t＞0），則t²+mt+1=0．
當(dāng)△=0，即m²-4=0，
∴m=-2時(shí)，t=1；m=2時(shí)，t=-1不合題意，舍去，
∴2^x=1，x=0符合題意．
當(dāng)△＞0，即m＞2或m＜-2時(shí)，
t²+mt+1=0有一正一負(fù)根，
即t₁t₂＜0，這與t₁t₂＞0矛盾．
∴這種情況不可能．
綜上可知：m=-2時(shí)，f（x）有唯一零點(diǎn)，該零點(diǎn)為x=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的求法，在求解過(guò)程中要注意函數(shù)方程不等式的轉(zhuǎn)化．