Question

14．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，點P（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{1}{2}$）在橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過橢圓C的左焦點F的直線l與橢圓交于A，B兩點，求△AOB面積的最大值（O為坐標(biāo)原點）

Answer 1

分析 （1）由離心率公式求得a與b關(guān)系，將P點坐標(biāo)代入橢圓方程，即可求得a和b的值，取出橢圓的方程；
（2）由題意可知，設(shè)出直線l的方程，及A和B點坐標(biāo)，代入橢圓方程，求得關(guān)于y的一元二次方程，由韋達(dá)定理求得y₁+y₂和y₁•y₂的關(guān)系，根據(jù)三角形面積公式即可求得△AOB的面積，化簡由基本不等式即可求得△AOB面積的最大值．

解答 解：（1）∵e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-（\frac{a}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a²=2b²，①
又點P（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{1}{2}$）在橢圓上，
∴$\frac{3}{2{a}^{2}}+\frac{1}{4^{2}}=1$②，
由①②得：a=$\sqrt{2}$，b=1，
故橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
（2）由（1）可知：F（-1，0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)直線l的方程為，x=ky-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ky-1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去x，整理得：（k²+2）y²-2ky-1=0，
由韋達(dá)定理可知：y₁+y₂=$\frac{2k}{{k}^{2}+2}$，y₁•y₂=-$\frac{1}{{k}^{2}+1}$，
∴S_△AOB=S_△AOF+S_△BOF=$\frac{1}{2}$•|OF|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$，
=$\frac{1}{2}$$\frac{\sqrt{8{k}^{2}+8}}{{k}^{2}+2}$，
=$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{{k}^{2}+1}}{{k}^{2}+2}$，
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{{k}^{2}+1}{[（{k}^{2}+1）+1]^{2}}}$，
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{{k}^{2}+1}{（{k}^{2}+1）^{2}+2（{k}^{2}+1）+1}}$，
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{1}{{k}^{2}+1+\frac{1}{{k}^{2}+1}+2}}$≤$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{1}{2+2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（當(dāng)且僅當(dāng)k²+1=$\frac{1}{{k}^{2}+1}$，即k=0時，等號成立），
∴△AOB的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、三角形的面積公式及基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．