Question

設(shè)f（x）=

-x2+2x+1(x≥0) e-x(x＜0)

關(guān)于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數(shù)根x₁，x₂，x₃，則x₁x₂x₃的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先確定0＜m＜2，當(dāng)m=2時，確定x₁的范圍，利用x₂，x₃關(guān)于x=1對稱，結(jié)合配方法，可得0＜x₂x₃＜1，從而可求x₁x₂x₃的取值范圍．

解答： 解：依題意得關(guān)于x的方程f（x）=m，（m∈R）恰有三個互不相同的實數(shù)根x₁，x₂，x₃，不妨設(shè)x₁＜x₂＜x₃，則
∵x≥0，f（x）=-x²+2x+1=-（x-1）²+2，∴0＜m＜2，
當(dāng)m=2時，由e^-x=2，∴x=-ln2，∴-ln2＜x₁＜0，
又x₂，x₃關(guān)于x=1對稱，則x₂+x₃=2，x₂x₃=-（x₂-1）²+1，
∴0＜x₂x₃＜1，
∴-ln2＜x₁x₂x₃＜0．
故答案為：（-ln2，0）．

點評：本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，考查方程根，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．