Question

（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A₁，ACC₁A₁
均為正方形，∠BAC=90°,點D是棱B₁C₁的中點．
（1）求證：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（2）求證：AB₁∥平面A₁DC；
（3）求二面角D-A₁C-A的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：因為側(cè)面均為正方形，
所以,
所以平面，三棱柱是直三棱柱．　　　………………1分
因為平面，所以，　　　　　　　　　………………2分
又因為，為中點，所以．            ……………3分
因為,所以平面．     ……………4分
（Ⅱ）證明：連結(jié)，交于點，連結(jié)，
因為為正方形，所以為中點，
又為中點，所以為中位線，
所以，           ………………6分
因為平面，平面，
所以平面．     ………………8分
（Ⅲ）解：因為側(cè)面，均為正方形，，
所以兩兩互相垂直，如圖所示建立直角坐標(biāo)系．

設(shè)，則．
，                            ………………9分
設(shè)平面的法向量為，則有
，，，
取，得．                           ……………10分
又因為平面，所以平面的法向量為，………11分
，                    因為二面角是鈍角，
所以，二面角的余弦值為．             ……………12分

解析