Question

已知函數(shù)f(x)=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

．
（1）若對于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若f（x）的最小值為-2，求實(shí)數(shù)k的值；
（3）若對任意的x₁，x₂，x₃∈R，均存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）為三邊長的三角形，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）問題等價于4^x+k•2^x+1＞0恒成立，分離出參數(shù)k后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題即可；
（2）f(x)=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

=1+

k-1

2x+ 1 2x +1

，令t=2x+

1

2x

+1≥3，則y=1+

k-1

t

(t≥3)，分k＞1，k=1，k＜1三種情況進(jìn)行討論求出f（x）的最小值，令其為-2即可解得k值；
（3）由題意，f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）對任意x₁，x₂，x₃∈R恒成立．當(dāng)k=1時易判斷；當(dāng)k＞1，k＜1時轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題解決即可，借助（2）問結(jié)論易求函數(shù)的最值；

解答：解：（1）因?yàn)?^x+2^x+1＞0，所以f（x）＞0恒成立，等價于4^x+k•2^x+1＞0恒成立，即k＞-2^x-2^-x恒成立，
因?yàn)?2^x-2^-x=-（2^x+2^-x）≤-2，當(dāng)且僅當(dāng)2^x=2^-x即x=0時取等號，
所以k＞-2；
（2）f(x)=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

=1+

k-1

2x+ 1 2x +1

，
令t=2x+

1

2x

+1≥3，則y=1+

k-1

t

(t≥3)，
當(dāng)k＞1時，y∈(1，

k+2

3

]無最小值，舍去；
當(dāng)k=1時，y=1最小值不是-2，舍去；
當(dāng)k＜1時，y∈[

k+2

3

，1)，最小值為

k+2

3

=-2⇒k=-8，
綜上所述，k=-8．
（3）由題意，f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）對任意x₁，x₂，x₃∈R恒成立．
當(dāng)k＞1時，因2＜f(x1)+f(x2)≤

2k+4

3

且1＜f(x3)≤

k+2

3

，
故

k+2

3

≤2，即1＜k≤4；
當(dāng)k=1時，f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=1，滿足條件；
當(dāng)k＜1時，

2k+4

3

≤f(x1)+f(x2)＜2且

k+2

3

≤f(x3)＜1，故1≤

2k+4

3

，解得-

1

2

≤k＜1；
綜上所述，-

1

2

≤k≤4

點(diǎn)評：本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)恒成立、函數(shù)最值等問題，考查轉(zhuǎn)化思想，綜合性較強(qiáng)，難度較大．