Question

給定項數(shù)為m（m∈N^*，m≥3）的數(shù)列{a_n}，其中a_i∈{0，1}（i=1，2，…，m）．若存在一個正整數(shù)k（2≤k≤m-1），若數(shù)列{a_n}中存在連續(xù)的k項和該數(shù)列中另一個連續(xù)的k項恰好按次序?qū)��?yīng)相等，則稱數(shù)列{a_n}是“k階可重復(fù)數(shù)列”，例如數(shù)列{a_n}：0，1，1，0，1，1，0．因為a₁，a₂，a₃，a₄與a₄，a₅，a₆，a₇按次序?qū)��?yīng)相等，所以數(shù)列{a_n}是“4階可重復(fù)數(shù)列”．
（Ⅰ）分別判斷下列數(shù)列
①{b_n}：0，0，0，1，1，0，0，1，1，0．
②{c_n}：1，1，1，1，1，0，1，1，1，1．是否是“5階可重復(fù)數(shù)列”？如果是，請寫出重復(fù)的這5項；
（Ⅱ）若數(shù)為m的數(shù)列{a_n}一定是“3階可重復(fù)數(shù)列”，則m的最小值是多少？說明理由；
（Ⅲ）假設(shè)數(shù)列{a_n}不是“5階可重復(fù)數(shù)列”，若在其最后一項a_m后再添加一項0或1，均可使新數(shù)列是“5階可重復(fù)數(shù)列”，且a₄=1，求數(shù)列{a_n}的最后一項a_m的值．

Answer 1

（Ⅰ）記數(shù)列①為{b_n}，因為b₂，b₃，b₄，b₅，b₆與b₆，b₇，b₈，b₉，b₁₀按次序?qū)��?yīng)相等，
所以數(shù)列①是“5階可重復(fù)數(shù)列”，重復(fù)的這五項為0，0，1，1，0；
記數(shù)列②為{c_n}，因為c₁，c₂，c₃，c₄，c₅、c₂，c₃，c₄，c₅，c₆、c₃，c₄，c₅，c₆，c₇、c₄，c₅，c₆，c₇，c₈、c₅，c₆，c₇，c₈，c₉、c₆，c₇，c₈，c₉，c₁₀沒有完全相同的，所以{c_n}不是“5階可重復(fù)數(shù)列”．
（Ⅱ）因為數(shù)列{a_n}的每一項只可以是0或1，所以連續(xù)3項共有2³=8種不同的情形．
若m=11，則數(shù)列{a_n}中有9組連續(xù)3項，則這其中至少有兩組按次序?qū)��?yīng)相等，即項數(shù)為11的數(shù)列{a_n}一定是“3階可重復(fù)數(shù)列”；若m=10，數(shù)列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3階可重復(fù)數(shù)列”；則3≤m＜10時，
均存在不是“3階可重復(fù)數(shù)列”的數(shù)列{a_n}．
所以，要使數(shù)列{a_n}一定是“3階可重復(fù)數(shù)列”，則m的最小值是11．
（Ⅲ）由于數(shù)列{a_n}在其最后一項a_m后再添加一項0或1，均可使新數(shù)列是“5階可重復(fù)數(shù)列”，即在數(shù)列{a_n}的末項a_m后再添加一項0或1，則存在i≠j，使得a_i，a_i+1，a_i+2，a_i+3，a_i+4與a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m，0按次序?qū)��?yīng)相等，或a_j，a_j+1，a_j+2，a_j+3，a_j+4與a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m，1按次序?qū)��?yīng)相等，
如果a₁，a₂，a₃，a₄與a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m不能按次序?qū)��?yīng)相等，那么必有2≤i，j≤m-4，i≠j，使得a_i，a_i+1，a_i+2，a_i+3、a_j，a_j+1，a_j+2，a_j+3與a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m按次序?qū)��?yīng)相等．
此時考慮a_i-1，a_j-1和a_m-4，其中必有兩個相同，這就導(dǎo)致數(shù)列{a_n}中有兩個連續(xù)的五項恰按次序?qū)��?yīng)相等，從而數(shù)列{a_n}是“5階可重復(fù)數(shù)列”，這和題設(shè)中數(shù)列{a_n}不是“5階可重復(fù)數(shù)列”矛盾；
所以a₁，a₂，a₃，a₄與a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m按次序?qū)��?yīng)相等，
從而a_m=a₄=1．