如圖，已知橢圓G：的右準(zhǔn)線l1：x=4與x軸交與點(diǎn)M，點(diǎn)A，F(xiàn)2分別是的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，且MA=2AF2．過點(diǎn)A作斜率為-1的直線l2交橢圓于另一點(diǎn)B，以AB為底邊作等腰三角形ABC，點(diǎn)C恰好在直線l1上．
（1）求橢圓G的方程；
（2）求△ABC的面積．

【答案】分析：（1）由MA=2AF2，得橢圓的離心率為，從而a=2c，又橢圓的右準(zhǔn)線l1：x=4，所以，所以a=2，c=1，從而可求橢圓G的方程；
（2）直線l2的方程為y=-x+2，解方程組，可得，所以AB中點(diǎn)，從而可得AB的垂直平分線方程為，由此可求，所以，，故可求△ABC的面積．
解答：解：（1）由MA=2AF2，得橢圓的離心率為，即a=2c．
又橢圓的右準(zhǔn)線l1：x=4，所以，所以a=2，c=1．
所以求橢圓G的方程為．
（2）∵過點(diǎn)A作斜率為-1的直線l2，
∴直線l2的方程為y=-x+2，
解方程組，得或，即
∵A（2，0），∴，
所以AB中點(diǎn)．
AB的垂直平分線方程為，即，
令x=4，得，即．
所以，，
所以△ABC的面積．
點(diǎn)評：本題以橢圓的性質(zhì)為載體，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形的面積，綜合性強(qiáng)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知圓G：（x-2）2+y2=r2是橢圓
x216
+y2=1的內(nèi)接△ABC的內(nèi)切圓，其中A為橢圓的左頂點(diǎn)，
（1）求圓G的半徑r；
（2）過點(diǎn)M（0，1）作圓G的兩條切線交橢圓于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，證明：直線EF與圓G相切．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右準(zhǔn)線l1：x=4與x軸交與點(diǎn)M，點(diǎn)A，F(xiàn)2分別是的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，且MA=2AF2．過點(diǎn)A作斜率為-1的直線l2交橢圓于另一點(diǎn)B，以AB為底邊作等腰三角形ABC，點(diǎn)C恰好在直線l1上．
（1）求橢圓G的方程；
（2）求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2003•北京）如圖，已知橢圓的長軸A1A2與x軸平行，短軸B1B2在y軸上，中心M（0，r）（b＞r＞0
（Ⅰ）寫出橢圓方程并求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；
（Ⅱ）設(shè)直線y=k1x與橢圓交于C（x1，y1），D（x2，y2）（y2＞0），直線y=k2x與橢圓次于G（x3，y3），H（x4，y4）（y4＞0）．求證：
k1x1x2
x1+x2
=
k1x3x4
x3+x4
；
（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的在C，D，G，H，設(shè)CH交x軸于P點(diǎn)，GD交x軸于Q點(diǎn)，求證：|OP|=|OQ|
（證明過程不考慮CH或GD垂直于x軸的情形）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓G：數(shù)學(xué)公式的右準(zhǔn)線l1：x=4與x軸交與點(diǎn)M，點(diǎn)A，F(xiàn)2分別是的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，且MA=2AF2．過點(diǎn)A作斜率為-1的直線l2交橢圓于另一點(diǎn)B，以AB為底邊作等腰三角形ABC，點(diǎn)C恰好在直線l1上．
（1）求橢圓G的方程；
（2）求△ABC的面積．

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