Question

（幾何證明選講選做題）PA與圓O切于A點，PCB為圓O的割線，且不過圓心O，已知∠BPA=30°，PA=2

3

，PC=1，則圓O的半徑等于

7

（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，過點（2

2

，  

π

4

）作圓ρ=4sinθ的切線，則切線的極坐標方程是

ρcosθ=2

．

Answer 1

分析：（1）連AO并延長，根據切線的性質定理得到Rt△PAD，根據切割線定理得到PA²=PC•PB，根據相交弦定理得到CD•DB=AD•DE，最后即可解得圓O的半徑．
（2）求出極坐標的直角坐標，極坐標方程的直角坐標方程，然后求出切線方程，轉化為極坐標方程即可．

解答：解：（1）如圖，連AO并延長，交圓O與另一點E，交割線PCB于點D，
則Rt△PAD中，由∠DPA=30°，PA=2

3

，得AD=2，PD=4，而PC=1，
故CD=3，由切割線定理，得PA²=PC•PB，即（2

3

）²=1•PB，則PB=11，
故DB=8．
設圓O的半徑為R，
由相交弦定理，CD•DB=AD•DE，即3×8=2（2R-2），
得R=7；
（2）（2

2

，

π

4

）的直角坐標為：（2，2），圓ρ=4sinθ的直角坐標方程為：x²+y²-4y=0；顯然，圓心坐標（0，2），半徑為：2；
所以過（2，2）與圓相切的直線方程為：x=2，所以切線的極坐標方程是：ρcosθ=2
故答案為：7；ρcosθ=2．

點評：本題主要考查圓的切割線定理和相交弦定理、考查極坐標與直角坐標方程的互化，考查計算能力．屬于基礎題．