【題目】如圖,在四棱錐中,底而
為正方形,
底面
,
,點(diǎn)
為棱
的中點(diǎn),點(diǎn)
,
分別為棱
,
上的動點(diǎn)(
,
與所在棱的端點(diǎn)不重合),且滿足
.
(1)證明:平面平面
;
(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時,求二面角
的余弦值
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)連結(jié)交
于
連結(jié)
,則
,
面
,
,而
,
面
,易證
,則
面
,可得平面
平面
.解法二:通過建立空間直角坐標(biāo)系,找出平面
平面
的法向量,通過法向量互相垂直來證明.
(2)通過建立空間直角坐標(biāo)系,找到兩個平面法向量之間的夾角余弦,從而得到二面角的余弦值.
(1)【解法一】:(綜合法)
證明:連接交
于
,連接
.
因?yàn)榈酌?/span>為正方形,所以
,
,
又因?yàn)?/span>,所以
.
由底面
知,
底面
,
又底面
,所以
;
又;
平面
,所以
平面
.
在中,因?yàn)?/span>
,
,所以
,即
,
所以平面
.
又平面
,所以平面
平面
.
【解法二】
(向量法)
因?yàn)?/span>底面
,
,以
為坐標(biāo)原點(diǎn),
的方向?yàn)?/span>
軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
.則
,
,
,
.設(shè)
,則
.
,
,
,
.
設(shè)為平面
的一個法向量,則
即
可取
.
設(shè)為平面
的一個法向量,則
即
可取
.
因?yàn)?/span>,所以
.
所以平面平面
.
(2)解:設(shè),
由題意知,,又
,
所以.
易知當(dāng)三棱錐的體積最大時,
,即此時
,
分別為棱
,
的中點(diǎn).
以為坐標(biāo)原點(diǎn),
的方向?yàn)?/span>
軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
.
則,
,
,
.
,
,
.
設(shè)是平面
的法向量,則
即
可取
.
設(shè)是平面
的法向量,則
即
可取
.
則.
由圖知所求二面角為鈍二面角,所以二面角的余弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,
平面
,
為
邊上一點(diǎn),
,
.
(1)證明:平面平面
.
(2)若,試問:
是否與平面
平行?若平行,求三棱錐
的體積;若不平行,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),以原點(diǎn)
為極點(diǎn),
軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,
點(diǎn)的極坐標(biāo)為
,斜率為
的直線
經(jīng)過點(diǎn)
.
(I)求曲線的普通方程和直線
的參數(shù)方程;
(II)設(shè)直線與曲線
相交于
,
兩點(diǎn),求線段
的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)為了調(diào)查高粱的高度、粒的顏色與產(chǎn)量的關(guān)系,對700棵高粱進(jìn)行抽樣調(diào)查,得到高度頻數(shù)分布表如下:
表1:紅粒高粱頻數(shù)分布表
農(nóng)作物高度( | ||||||
頻 數(shù) | 2 | 5 | 14 | 13 | 4 | 2 |
表2:白粒高粱頻數(shù)分布表
農(nóng)作物高度( | ||||||
頻 數(shù) | 1 | 7 | 12 | 6 | 3 | 1 |
(1)估計(jì)這700棵高粱中紅粒高粱的棵數(shù);
(2)估計(jì)這700棵高粱中高粱高()在
的概率;
(3)在樣本的紅粒高粱中,從高度(單位:)在
中任選3棵,設(shè)
表示所選3棵中高(單位:
)在
的棵數(shù),求
的分布列和數(shù)學(xué)期望
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著我國經(jīng)濟(jì)實(shí)力的不斷提升,居民收人也在不斷增加。某家庭2018年全年的收入與2014年全年的收入相比增加了一倍,實(shí)現(xiàn)翻番.同時該家庭的消費(fèi)結(jié)構(gòu)隨之也發(fā)生了變化,現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了該家庭這兩年不同品類的消費(fèi)額占全年總收入的比例,得到了如下折線圖:
則下列結(jié)論中正確的是( )
A. 該家庭2018年食品的消費(fèi)額是2014年食品的消費(fèi)額的一半
B. 該家庭2018年教育醫(yī)療的消費(fèi)額與2014年教育醫(yī)療的消費(fèi)額相當(dāng)
C. 該家庭2018年休閑旅游的消費(fèi)額是2014年休閑旅游的消費(fèi)額的五倍
D. 該家庭2018年生活用品的消費(fèi)額是2014年生活用品的消費(fèi)額的兩倍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1),等腰梯形,
,
,
,
,
分別是
的兩個三等分點(diǎn),若把等腰梯形沿虛線
、
折起,使得點(diǎn)
和點(diǎn)
重合,記為點(diǎn)
, 如圖(2).
(1)求證:平面平面
;
(2)求平面與平面
所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,四邊形
為正方形,
,
,
.
(1)證明:平面平面
.
(2)若平面
,二面角
為
,三棱錐
的外接球的球心為
,求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】四色猜想是世界三大數(shù)學(xué)猜想之一,1976年數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯證明,稱為四色定理.其內(nèi)容是:“任意一張平面地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家涂上不同的顏色.”用數(shù)學(xué)語言表示為“將平面任意地細(xì)分為不相重疊的區(qū)域,每一個區(qū)域總可以用,
,
,
四個數(shù)字之一標(biāo)記,而不會使相鄰的兩個區(qū)域得到相同的數(shù)字.”如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為
,粗實(shí)線圍城的各區(qū)域上分別標(biāo)有數(shù)字
,
,
,
的四色地圖符合四色定理,區(qū)域
和區(qū)域
標(biāo)記的數(shù)字丟失.若在該四色地圖上隨機(jī)取一點(diǎn),則恰好取在標(biāo)記為
的區(qū)域的概率所有可能值中,最大的是( )
A. B.
C.
D.
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