Question

設函數f（x）=x-ln（x+m），其中m為實常數．
（Ⅰ）當m為何值時，f（x）≥0；
（Ⅱ）證明：當m＞1時，函數f（x）在[e^-m-m，e^2m-m]內有兩個零點．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=x-ln（x+m），x∈（-m，+∞），
∴f′(x)=1-

1

x+m

=

x-(1-m)

x+m

，令f'（x）=0，得x=1-m．------------（2分）
當x∈（-m，1-m）時，f'（x）＜0，f（x）為減函數，f（x）＞f（1-m）
當x∈（1-m，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）為增函數，f（x）＞f（1-m）---（4分）
根據函數極值判別方法，f（1-m）=1-m為極小值，
而且對x∈（-m，+∞）都有f（x）≥f（1-m）=1-m．
故當m≤1時，f（x）≥0．---------------（6分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，當m＞1時，f（1-m）=1-m＜0，
函數f（x）=x-ln（x+m），在[e^-m-m，1-m]上為減函數．
f（e^-m-m）=e^-m-m-ln（e^-m-m+m）=e^-m＞0
所以當m＞1時，f（e^-m-m）與f（1-m）異號．
由函數零點判定定理知，函數f（x）在區(qū)間（e^-m-m，1-m）內有唯一零點．----------（9分）
而當m＞1時，f（e^2m-m）=e^2m-3m．
令g（x）=e^2x-3x（x＞1），則g′（x）=2e^2x-3（x＞1）＞2e²-3＞0，
那么函數g（x）在區(qū)間（1，+∞）上遞增．于是g（x）＞g（1）=e²-3＞0，從而f（e^2m-m）=e^2m-3m＞0．--（11分）
所以，當整數m＞1時，函數f（x）=x-ln（x+m）在[1-m，e^2m-m]上為增函數且f（1-m）與f（e^2m-m）異號，
所以函數f（x）在區(qū)間[1-m，e^2m-m]內也有唯一零點．
綜上，當m＞1時，函數f（x）在區(qū)間[e^-m-m，e^2m-m]內有兩個零點．------------（14分）