Question

已知函數(shù)f(x)=

lnx+a

x

(a∈R)．
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）=1的圖象在區(qū)間（0，e²]上有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數(shù)f(x)=

lnx+a

x

(a∈R)求導(dǎo)，令f'（x）=0，求出根，分析其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，確定函數(shù)的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）=1的圖象在區(qū)間（0，e²]上有公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e²]上的值域，根據(jù)（Ⅰ）分類討論函數(shù)在區(qū)間（0，e²]是的單調(diào)性，確定函數(shù)f（x）的最值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f'（x）=

1-(lnx+a)

x 2

令f'（x）=0得x=e^1-a
當(dāng)x∈（0，e^1-a）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）是增函數(shù)
當(dāng)x∈（e^1-a，+∞）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）是減函數(shù)
∴f（x）在x=e^1-a處取得極大值，f（x）_極大值=f（e^1-a）=e^a-1
（Ⅱ）（i）當(dāng)e^1-a＜e²時(shí)，a＞-1時(shí)，由（Ⅰ）知f（x）在（0，e^1-a）上是增函數(shù)，在（e^1-a，e²]上是減函數(shù)
∴f（x）_max=f（e^1-a）=e^a-1
又當(dāng)x=e^-a時(shí)，f（x）=0，當(dāng)x∈（0，e^-a]時(shí)f（x）＜0．
當(dāng)x∈（e^-a，e²]時(shí)，f（x）∈（0，e^a-1]，所以f（x）與圖象g（x）=1的圖象在（0，e²]上有公共點(diǎn)，等價(jià)于e^a-1≥1
解得a≥1，又a＞-1，所以a≥1
（ii）當(dāng)e^1-a≥e²即a≤-1時(shí)，f（x）在（0，e²]上是增函數(shù)，
∴f（x）在（0，e²]上的最大值為f（e²）=

2+a

e2

所以原問(wèn)題等價(jià)于

2+a

e2

≥1，解得a≥e²-2．
又∵a≤-1，∴無(wú)解
綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥1

點(diǎn)評(píng)：考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和閉區(qū)間上函數(shù)的最值問(wèn)題，兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題，特別注意含有參數(shù)的最值問(wèn)題，對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，增加了題目的難度，體現(xiàn)了分類討論的思想方法．屬難題．