Question

已知二次函數(shù)f（x）=px²+qx（p≠0），其導(dǎo)函數(shù)為f'（x）=6x-2，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)(n，Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若cn=

1

3

(an+2)，2b1+22b2+23b3+…+2nbn=cn，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=px²+qx（p≠0），知f′（x）=2px+q=6x-2，所以f（x）=3x²-2x，由點(diǎn)(n，Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f（x）的圖象上，知S_n=3n²-2n，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由（1）得，cn=

1

3

(an+2)=2n-1，2b1+22b2+23b3+…+2nbn=2n-1，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）∵f（x）=px²+qx（p≠0），
∴f′（x）=2px+q=6x-2，
∴p=3，q=2，
∴f（x）=3x²-2x，
∵點(diǎn)(n，Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f（x）的圖象上，
∴S_n=3n²-2n，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=6n-5，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=6n-5．
（2）由（1）得，cn=

1

3

(an+2)=2n-1，2b1+22b2+23b3+…+2nbn=2n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，b1=

1

2

，…（7分）
當(dāng)n≥2時(shí)，2b1+22b2+23b3+…+2n-1bn-1+2nbn=2n-12b1+22b2+23b3+…+2n-1bn-1=2(n-1)-1
兩式相減得：bn=

1

2n-1

=21-n，…（11分）
故數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式：bn=

1 2 ，n=1 21-n，n≥2，n∈N*

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．