Question

已知中心在原點O，焦點在x軸上，離心率為

3

2

的橢圓過點（

2

，

2

2

）．
（1）求橢圓的方程；
（2）設不過原點O的直線l與該橢圓交于P，Q兩點，滿足直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，求△OPQ面積的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設出橢圓的方程，將已知點代入橢圓的方程及利用橢圓的離心率公式得到關于橢圓的三個參數(shù)的等式，解方程組求出a，b，c的值，代入橢圓方程即可．
（2）設出直線的方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去x得到關于y的二次方程，利用韋達定理得到關于兩個交點的坐標的關系，將直線OP，PQ，OQ的斜率用坐標表示，據(jù)已知三個斜率成等比數(shù)列，列出方程，將韋達定理得到的等式代入，求出k的值，利用判別式大于0得到m的范圍，將△OPQ面積用m表示，求出面積的范圍．

解答：解：（1）由題意可設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則
則

c a = 3 2 2 a2 + 1 2b2 =1

故

a=2 b=1

所以，橢圓方程為

x2

4

+ y2=1．
（2）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，
故可設直線l的方程為y=kx+m（m≠0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

y=kx+m x2 4 +y2=1

消去y得
（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
則△=64k²b²-16（1+4k²b²）（b²-1）=16（4k²-m²+1）＞0，
且x1+x2=

-8km

1+4k2

，x1•x2=

4(m2-1)

1+4k2

．
故y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²．
因為直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，
所以

y1

x1

•

y2

x2

=

k2x1x2+km(x1+x2)+m2

x1x2

=k²，
即

-8k2m2

1+4k2

+m²=0，又m≠0，
所以k²=

1

4

，即k=±

1

2

．
由于直線OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得
0＜m²＜2且m²≠1．
設d為點O到直線l的距離，
則S_△OPQ=

1

2

d|PQ|=

1

2

|x₁-x₂||m|=

m2(2-m2)

，
所以S_△OPQ的取值范圍為（0，1）．

點評：求圓錐曲線的方程，一般利用待定系數(shù)法；解決直線與圓錐曲線的位置關系問題，一般設出直線方程，將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到關于一個未知數(shù)的二次方程，利用韋達定理，找突破口．注意設直線方程時，一定要討論直線的斜率是否存在．