Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x（lnx+a）-ax²，其中a∈R．
（1）若a=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值；
（2）當x≥1時，f（x）≤0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由原函數(shù)的解析式，我們易求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進而根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點對函數(shù)的定義域進行分段討論后，即可得到答案．
（2）若f（x）≤0，即x（lnx+a）-ax²≤0，對a進行分類討論后，綜合即可得到答案．

解答：解：（1）當a=0時，f（x）=xlnx
∴f'（x）=lnx+1，x∈（0，+∞）
又∵當x∈（0，

1

e

）時，f'（x）＜0，
當x∈（

1

e

，+∞）時，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，

1

e

）上單調(diào)遞減，在（

1

e

，+∞）上單調(diào)遞增，在x=

1

e

處取得極大值，且極大值為f（

1

e

）=-

1

e

（2）當x≥1時，f（x）≤0?lnx+a-ax≤0．
令g（x）=lnx+a-ax，則g′(x)=

1

x

-a．
①當a≥1時，g'（x）≤0，故g（x）
在[1，+∞）是減函數(shù)，所以g（x）≤g（1）=0．
②當0＜a＜1時，令g'（x）=0，得x=

1

a

＞1．
∵當x∈(1，

1

a

)時，g'（x）＞0，
故當x∈(1，

1

a

)時，g（x）＞g（1）=0，與題意不符．
③當a≤0時，g'（x）＞0，故g（x）在[1，+∞）是增函數(shù)，從而當x∈（1，+∞）時，
有g(shù)（x）＞g（1）=0，與題意不符．綜上所述，a的取值范圍為[1，+∞）．

點評：本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，及函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，其中根據(jù)已知條件求出導(dǎo)函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．