Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，an+1=

1+an

1-an

(n∈N*)，則a₁a₂a₃…a₂₀₁₀的值為（　　）

A．1

B．-3

C．2

D．-6

Answer 1

分析：由于₁=2，an+1=

1+an

1-an

(n∈N*)，可得a2=

1+a1

1-a1

=-3，a3=

1+a2

1-a2

=

1-3

1+3

=-

1

2

，a4=

1+a3

1-a3

=

1- 1 2

1+ 1 2

=

1

3

，a5=

1+a4

1-a4

=

1+ 1 3

1- 1 3

=2=a₁
可得數(shù)列{a_n}是以4為周期的周期數(shù)列，且a₁a₂a₃a₄=2×(-3)×(-

1

2

)×

1

3

=1，從而可求

解答：解：∵₁=2，an+1=

1+an

1-an

(n∈N*)，
∴a2=

1+a1

1-a1

=

1+2

1-2

=-3，
a3=

1+a2

1-a2

=

1-3

1+3

=-

1

2

a4=

1+a3

1-a3

=

1- 1 2

1+ 1 2

=

1

3

a5=

1+a4

1-a4

=

1+ 1 3

1- 1 3

=2=a₁
∴a₆=a₂，a₇=a₃，…，a₂₀₀₉=a₁，a₂₀₁₀=a₂
數(shù)列{a_n}是以4為周期的周期數(shù)列，且a₁a₂a₃a₄=2×(-3)×(-

1

2

)×

1

3

=1
∴a₁a₂a₃…a₂₀₁₀=-6
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是由前幾項(xiàng)的規(guī)律總結(jié)出數(shù)列的周期性，屬于基礎(chǔ)試題