Question

已知數(shù)列{a_n}滿足an+1=

an

3-2an

，a1=

1

4

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求滿足am+am+1+…+a2m-1＜

1

150

的最小正整數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（1）由an+1=

an

3-2an

，a1=

1

4

，變形得

1

an+1

-1=3(

1

an

-1)，得到數(shù)列{

1

an

-1}是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，可求得該數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可以求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）把（1）求得的結(jié)果代入a_m+a_m+1+…+a_2m-1，利用放縮法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和問(wèn)題，即可求最小正整數(shù)m的值．

解答：解：（1）由aa+1=

an

3-2an

，得

1

an+1

=

3

a

-2，
∴

1

an+1

-1=3(

1

an

-1)，
∴數(shù)列{

1

an

-1}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，
∴

1

an

-1=3•3n-1=3n，
∴an=

1

3n+1

．(n∈N*)
（2）由1知am+am+1+…+a2m-1=

1

3m+1

+

1

3m+1+1

+…+

1

32m-1+1

＜

1

3m

+

1

3m+1

+…+

1

32m-1

=

1

3m

(1+

1

3

+…+

1

3m-1

)=

1

3m

1- 1 3m

1- 1 3

=

1

2•3m-1

(1-

1

3m

)
＜

1

2•3m-1

．
令

1

2•3m-1

≤

1

150

，
解得m≥5
故所求m的最小值為5．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題題．考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式利用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．特別是（2）的設(shè)置，增加了題目的難度，特別是應(yīng)用放縮法把不能求和的數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可求和的數(shù)列問(wèn)題，難度較大．