Question

已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)-

2x

x+1

+b的圖象與直線x+y-2=0相切于點(diǎn)（0，c）．
求：
（1）實(shí)數(shù)a的值；
（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極小值．

Answer 1

分析：（1）由f′(x)=

a

x+1

-

2

(x+1)2

和f（x）在x=0處的切線方程為y=-x+2，能求出a．
（2）由點(diǎn)（0，c）在直線x+y-2=0上，推導(dǎo)出c=2，由點(diǎn)（0，2）在f(x)=aln(x+1)-

2x

x+1

+b的圖象上，推導(dǎo)出b=2，由此能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極小值．

解答：解：（1）∵f(x)=aln(x+1)-

2x

x+1

+b，
∴f′(x)=

a

x+1

-

2

(x+1)2

∵f（x）在x=0處的切線方程為y=-x+2，
∴f'（0）=a-2=-1，即a=1
（2）∵點(diǎn)（0，c）在直線x+y-2=0上，
∴c-2=0，即c=2，
∵點(diǎn)（0，2）在f(x)=aln(x+1)-

2x

x+1

+b的圖象上，
∴f（0）=b=2，
∴f(x)=ln(x+1)-

2x

x+1

+2(x＞-1)
由（1）得：f′(x)=

1

x+1

-

2

(x+1)2

=

x-1

(x+1)2

(x＞-1)
當(dāng)f'（x）＞0時(shí)，得x＞1；當(dāng)f'（x）＜0時(shí)，得-1＜x＜1，
∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（-1，1）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有極小值f（1）=1+ln2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．