Question

已知點P（5，1）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的一點，F(xiàn)₁、F₂是橢圓的兩個焦點，若△PF₁F₂的內(nèi)切圓的半徑為

1

3

，則此橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

分析：由于△PF₁F₂的內(nèi)切圓的半徑為

1

3

，利用三角形的面積計算公式可得：

1

2

×

1

3

(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)=

1

2

×|F1F2|×1，利用橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c．
即

2a+2c

3

=2c，解得即可．

解答：解：如圖所示，
∵△PF₁F₂的內(nèi)切圓的半徑為

1

3

，利用三角形的面積計算公式可得：

1

2

×

1

3

(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)=

1

2

×|F1F2|×1，
∵|PF₁|+|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c．
∴

2a+2c

3

=2c，
解得e=

c

a

=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)、三角形的面積計算公式、橢圓的定義及其性質(zhì)，屬于難題．