Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)分別為A、F，右準(zhǔn)線為m．圓D：x²+y²+x-3y-2=0．
（1）若圓D過A、F兩點(diǎn)，求橢圓C的方程；
（2）若直線m上不存在點(diǎn)Q，使△AFQ為等腰三角形，求橢圓離心率的取值范圍．
（3）在（1）的條件下，若直線m與x軸的交點(diǎn)為K，將直線l繞K順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

π

4

得直線l，動(dòng)點(diǎn)P在直線l上，過P作圓D的兩條切線，切點(diǎn)分別為M、N，求弦長MN的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知圓求出與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出b，寫出橢圓方程．
（2）設(shè)出直線m與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)題意FQ≥FA，化簡即可．
（3）根據(jù)已知圓求出圓心半徑，再根據(jù)PM⊥MD，求出最值．

解答：解：（1）圓x²+y²+x-3y-2=0與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，A（-2，0），F(xiàn)（1，0），
故a=2，c=1，
所以b=

3

，
橢圓方程是：

x2

4

+

y2

3

=1
（2）設(shè)直線m與x軸的交點(diǎn)是Q，
依題意FQ≥FA，
即

a2

c

-c≥a+c，

a2

c

≥a+2c，

a

c

≥1+2

c

a

，

1

e

≥1+2e，
2e²+e-1≤0，0＜e≤

1

2

．
（3）直線l的方程是x-y-4=0，
圓D的圓心是(-

1

2

，

3

2

)，半徑是

3 2

2

，
設(shè)MN與PD相交于H，則H是MN的中點(diǎn)，
且PM⊥MD，
MN=2NH=2•

MD•MP

PD

=2•

MD• PD2-MD2

PD

=2MD•

1- MD2 PD2

當(dāng)且僅當(dāng)PD最小時(shí)，MN有最小值，
PD最小值即是點(diǎn)D到直線l的距離是
d=

|- 1 2 - 3 2 -4|

2

=

6

2

，
所以MN的最小值是2×

3 2

2

×

1- 9 2 36 2

=

3 6

2

．

點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線知識的綜合運(yùn)用，以及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及對知識的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．